微分アナライザーは、微分方程式を解くことができる機械式アナログ・コンピューターです。現在では、最も安価なノートパソコンで同じ問題をより速く解くことができ、同時にオンラインでドラマのブラッシュアップもできるため、もはや使われていません。しかし、デジタル・コンピュータが発明されると、微分解析器によって数学者は他のツールでは不可能であった計算を行うことができるようになりました。
印刷されたデジタル回路で構成されていないコンピューターが機能しているとは、今では考えられません。機械式コンピュータは、まるでスチームパンク小説から飛び出してきたかのようです。ディファレンシャル・アナライザーは機能的であるだけでなく、多くの研究分野で不可欠なツールであることが証明されています。最もよく知られている用途は、アメリカ陸軍が大砲の発射表を作成するために使用したことです。最大口径の大砲であっても、照準の補助となる発射台がなければ、その能力をフルに発揮することはできません。理論的には、ディファレンシャル・アナライザーは連合国が第二次世界大戦に勝利するために重要な役割を果たしました。
微分アナライザーがどのような働きをするのかを理解するには、まず微分方程式とは何かを知る必要があります。もう学校に返したら？大丈夫です。
微分方程式
微分方程式に初めて触れたのは、大学の微積分Iの最後の数週間だったでしょう。この時点で、あなたの給料の安い非常勤講師は、極限、微分、積分の概念を教えていたでしょう。これらの概念の上に等号を導入すると、微分方程式ができあがります。
微分方程式は、ある変数の別の変数に対する変化率を記述します。 
現実の世界では、複雑なシステムのある瞬間から次の瞬間への変化を記述する方が、可能な限りすべての瞬間のシステムを記述する方程式を考え出すよりも簡単であることが多いため、微分方程式は非常に便利です。その結果、微分方程式は物理学や工学で広く使われています。よく知られている微分方程式はこれは物体を通る熱の拡散を記述するものです。ある瞬間tにおける物体内の熱の分布を完全に記述する関数を考え出すことは困難ですが、ある瞬間から次の瞬間への熱の拡散過程について推論することは、頭を悩ませることはまずありません - ニアクーラーはより熱くなり、ニアヒーターはより冷たくなります。ですから、熱伝導の式は形式的には前の例よりずっと複雑ですが、変化の速度を記述しているにすぎません。この式は、周囲との温度差が与えられた場合の、物体上の任意の点における温度の時間変化を記述するものです。
もっと具体的な例を挙げましょう。真空中でテニスボールを垂直に上に投げたら、窒息する前に下に落ちてくるでしょうか？これは私が高校の物理の授業で聞かれた質問で、これを解くには基本的なニュートンの運動方程式が必要なだけです。さて、私がニュートンの運動方程式を忘れ、物体が一定の加速度gで地球に向かって加速していることだけを覚えていると仮定します。では、微分方程式を使ってこの問題を解くにはどうすればよいでしょうか？
さて、高校物理の記憶の残りを微分方程式で表してみましょう。テニスボールは手から離れた後、地球に向かってgで加速します。これは、時間に対するテニスボールの速度の変化率がgであることを意味します。さらに、時間に対するボールの地上からの高さの変化率は、負の方向にgであると言えます。この微分方程式は、h を高さ、t を時間とすると、次のようになります：
これはいわゆる2階微分方程式なので、前の微分方程式とは少し違って見えます。これは変化率の変化率を論じているのですが、おそらく微積分の授業で、これには2階微分を使う必要があることを覚えているでしょう。方程式の左の部分が2乗されているように見えるのはこのためです。しかし、この方程式は、ボールが一定の加速度gで下向きに加速しているという事実を単純に表しています。
この時点では、微分方程式を解くために微積分を使うという選択肢があります。微分方程式を解くとは、指定された関係を満たす値を見つけることではなく、満たす関数を見つけることです。上の微分方程式の別の理解は、-g の2階微分を持つような関数が存在するということです。この関数を見つけたいのは、それが任意の瞬間のボールの高さを示すからです。この微分方程式は解きやすいのがいいところです。そうすることで、忘れていた運動方程式を再び導くことができ、ボールが後ろに落ちるのにかかった時間を簡単に計算することができます。
微分方程式の数値解法です。微分方程式の解法としては、ほとんどの分野で実際に用いられている方法です。微分方程式を数値的に解くには、コンピュータが不可欠です。シミュレーションの精度は、小さなステップで実行される多数の計算に依存するからです。手計算ではエラーが起こりやすく、時間がかかりすぎます。
では、この問題の背景を1936年に設定したらどうでしょう？やはり計算処理を自動化したいですね。しかし、これは彼が修士論文を仕上げる1年前のことでした。この論文で、シャノンはデジタル回路で実現していました。デジタル・コンピュータがなければ、アナログ・コンピュータに期待するしかありませんね」。
ディファレンシャルアナライザ
最初のディファレンシャル・アナライザーは、1928年から1931年にかけてMITで.2人ともエンジニアでした。応用数学と物理学の実用的な問題を解決するために作られました。ブッシュが 1931年の論文で述べて いるように、微分解析器は、「使用する方程式の深さよりもむしろ複雑さに絶えず悩まされていた」数学者が直面していた現代の問題を解決するために設計されました。
ディファレンシャル・アナライザーは、ドライブシャフト、ギア、ターンテーブルで構成され、6次までの微分方程式を解くことができる複雑な装置です。単純な部品と複雑な組み合わせで構成された驚くべき機械です。この点では、デジタルコンピューターとよく似ています。違いは、デジタル・コンピュータがブール代数を回路に実装して代数問題をシミュレートするのに対し、ディファレンシャル・アナライザーはドライブシャフト、ギア、ターンテーブルを通して微分方程式問題を直接シミュレートする点です。ディファレンシャル・アナライザーの本質は、現実の問題に対する直接的な機械的類似性です。
では、微積分の計算に歯車やターンテーブルを使うにはどうしたらいいのでしょうか？実はこれが一番説明しやすい部分です。微分解析器の最も重要な構成要素は6つの積分器で、それぞれが1次の微分方程式に対応しています。19世紀にさかのぼる機械的な積分器は、単一の単純な関数を積分できる比較的単純なデバイスです。ところで、ブッシュの偉大な功績は、機械的積分器の発明ではなく、積分器を直列に接続することで、より高次の微分方程式を解く方法を発見したことです。
メカニカル・インテグレーターは、大きなターンテーブルとずっと小さなランナーで構成されています。ターンテーブルはレコードプレーヤーのターンテーブルのように床と平行に平らに置かれています。モーターで駆動され、一定の速度で回転します。車輪は、ターンテーブルが車輪を駆動するのに十分な圧力で、ターンテーブルの表面に垂直に軽く置かれますが、車輪がターンテーブルに対して横に自由に滑るのを妨げるほど大きくはありません。要するに、ターンテーブルが回転すると、ホイールも一緒に回転するということです。
ローターの速度は、ターンテーブルの中心からの距離によって決まります。ターンテーブルの中心部は当然、端の部分よりも遅く回転します。ホイールの位置は固定されており、ターンテーブルは前後にスライドするベースに取り付けられています。これにより、ターンテーブルの中心に対するホイールの位置を調整することができます。ターンテーブルのベースの位置は、インテグレーターの入力機能によって制御されます。インテグレーターの出力は、カルーセルの回転量に依存します。つまり、入力関数は、関数の微分を関数そのものに変換した出力関数の変化率を駆動します。これは積分演算ではありませんか？
先ほどの説明で積分器の原理が理解できなかった方は、メカニカルインテグレーターの動作を見ればすぐに理解できるはずです。原理は驚くほどシンプルで、動作している様子を見れば、そのメカニズムを垣間見ることができます。そこで、 メカニカル・インテグレーターの動作のダイナミックな回路図を作成しましたので、ぜひご覧ください。部品を回転させたり動かしたりして、関数f(x)のF(x)を求める過程を示しています。これは非常に興味深いものです。
現在では積分演算ができるコンポーネントもありますが、それだけでは微分方程式を解くには不十分です。微分方程式の解法全体を説明するために、ブッシュが1931年の論文で示した例を使いましょう。この例は、先に述べた微分方程式と基本的に同じです。ブッシュは、落下する物体の運動を表すのに次のような微分方程式を使いました：
これは、ブッシュがhの代わりにxを使い、空気抵抗の減速効果を表す項を追加したことを除けば、前のテニスの式と基本的に同じです。この新しい用語は、空気抵抗の効果を最も単純な形で表しています。つまり、ボールの速度が速ければ速いほど、空気抵抗は大きくなり、ボールの減速効果は大きくなります。
この微分方程式を解くために微分アナライザーを構成するには、ブッシュが「入力パネル」と呼ぶものから始める必要があります。入力パネルは、実際にはスタンドに取り付けられた座標紙です。より複雑な方程式を解くには、オペレータはまず入力関数のイメージを紙にプロットし、次に機械の起動時に本体に取り付けられたポインタで関数イメージの軌跡をたどります。この例では、入力は定数gですから、ポインタを正しい位置に移動させて静止させるだけです。
残りの変数 x と t は何ですか?変数 x はボールの高さを表し、ディファレンシャル・アナライザーの出力です。出力パネルの座標紙にプロットされます。出力パネルは入力パネルと似ていますが、ポインタの代わりに差動分析計によって駆動されるプロッタペンがあります。変数tは単純に固定レートでステップされます。変数tは差動分析計のモーターに由来し、ドライブシャフトを一定速度で回転させることで計算全体を駆動します。
ブッシュの模式図は、これから紹介する内容を理解するのに役立ちます。しかし、理解しやすくするためには、まず微分方程式の別の変形をする必要があります。方程式の両辺を一度同時に積分すると、次の式が得られます：
微分アナライザーの動作において、方程式の項と各コンポーネントの回転量によって示される値との間に、より明確な対応ができるようになりました。ブッシュの回路図を以下に示します：
回路図の上部は入力パネル、右下は出力パネルです。
さて、回路図で説明されていない部分が2つあります。内側のkと書かれたボックスは、kが比例定数であることを示しています。 
ディファレンシャル・アナライザーの原理を理解するために、モーター始動時の連鎖的な因果過程をスロー・プレイで導き出すことが役に立ちました。モーターが始動し、直ちにドライブシャフトtを一様な速度で駆動します。これが時間の概念を与えます。このドライブシャフトには3つの役割があり、3つの垂直ドライブシャフトが取り付けられています。2つのインテグレーターのターンテーブルの回転を駆動し、同時に出力パネルのブラケットを駆動し、プロッターペンがプロットを作成できるようにします。
インテグレーターのホイールがターンテーブルの中心に置かれている場合、ドライブシャフト t は他のドライブシャフトを駆動しません。インテグレーターのカルーセルは回転しますが、カルーセルの中心にあるホイールは駆動されません。出力イメージは平坦な線になります。これは問題の初期条件が指定されていないために起こります。上記のPythonプログラムでは、テニスボールの初期速度を定数または関数の引数として使用する必要があります。マシンの起動時に、2つの積分器のダイヤルを適切な位置に調整することで、速度と加速度の初期値を指定します。
これが設定されると、ドライブシャフトtの回転がシステム全体に伝達されます。物理的には、多くの部品が同時に回転を開始します。 
先ほどは意図的に避けていたのですが、マシンの中に奇妙なループがあることが、混乱を招いています。 
すべてを正しく設定した後、マシンはボールの高さとスピードを時間の関数としてイメージ出力します。このイメージは紙に描かれています。これは現代のデジタル思考では少し理解しにくいかもしれません。紙に描かれた関数イメージに何ができるのでしょうか？微分解析器が魔法のように解の簡潔な数式を与えることができないのは事実です。しかし、多くの微分方程式には簡潔な解析解がないことも覚えておいてください。紙の上の関数イメージには、先ほどのボール落下をシミュレーションしたPythonプログラムと同じ情報、つまりある瞬間のボールの位置が含まれています。それに関する実用的な質問には何でも答えることができます。
ディファレンシャル・アナライザーは単純にかっこいい。複雑な構造をしていますが、基本的にはドライブシャフトとギアを組み合わせただけのものです。その仕組みを理解するのに、電気技師である必要も、チップの作り方を知っている必要もありません。しかし、微積分を解くことはできます！微分方程式を解くことができるのです。計算機を作るための重要な材料はシリコンではなく、人間の創意工夫であることを証明しています。
殺人
人間の創造性は善にも悪にも使われます。先ほど申し上げたように、歴史上最もよく知られている微分アナライザーの応用例は、アメリカ陸軍の砲兵表を計算することでした。第二次世界大戦が「正義の戦争」であったことを考えれば、これは最善の結果でした。しかし、微分分析計が大口径砲の殺傷力を高めたことは無視できません。大砲は多くの人を殺しました。ウィキペディアを信じるなら、第二次世界大戦では軽火器よりも大砲で殺された兵士の方が多い。
倫理の話には後で戻りますが、まずはショットテーブルの計算がなぜ難しいのか、そしてディファレンシャルアナライザーがどのように役立つのかを簡単に説明しましょう。これはディファレンシャルアナライザーを実用的な問題に適用した良い例です。ショットテーブルとは、ある距離の標的を撃つときに、銃口をどれくらいの高さまで上げればよいかを示すものです。ショットテーブルを作成する1つの方法は、異なる仰角でその銃を発射し、その結果を記録することです。この方法はメリーランド州のアバディーン実験場などの射撃場で使われていました。しかし、実験的な観察だけで射撃表を作成するのは費用も時間もかかります。気象条件や発射薬重量の変化など、他の要因を考慮すると、必要な発射回数は実行不可能なレベルにまで膨れ上がります。したがって、少数の観測に基づいて数学的モデルを構築し、そのモデルに基づいて完全な射撃表を作成するのがより良い方法です。
このような数学的理論を深く論じるつもりはありません。しかし、飛んでいる砲弾の運動を支配している物理法則は、上に投げられたテニスボールの運動を支配している物理法則とそれほど違わないということは、おわかりいただけたはずです。使用される微分方程式は理想化された形から逸脱しなければならず、計算精度の必要性からすぐに安易なものになりました。最も初期の正確な弾道理論の公式でさえ、他の要因の中で、発射体の重量、直径、形状、卓越風、高度、大気密度、地球の自転を考慮していました。
ショットテーブルの計算を支配する方程式は複雑ですが、以前の微分方程式と同様に、微分分析器によって数値的に解くことができます。これにより、弾道表の計算が大幅に高速化されました。 しかし、第二次世界大戦中に表の需要が急増したため、アメリカ陸軍はヨーロッパ戦線向けの武器や装備の需要に応えるだけの速さで表を計算することができなくなりました。このため、陸軍は最終的にペンシルベニア大学のENIACプロジェクトに資金を提供することになりました。これにより、配線変更によって任意のプログラムを実行できる世界初のデジタル・コンピュータ、ENIACが誕生しました。しかし、それは主に微分分析器の数倍の速度で発射表を計算するために作られました。
微分アナライザー以外でも、シューティングテーブル計算の問題が初期のコンピューティング分野の発展に大きく貢献したことを考えると、倫理的な問題から微分アナライザーだけを取り上げるのは不当かもしれません。微分解析器は軍事用途に限定されていたわけではなく、第二次世界大戦中、そして第二次世界大戦後のかなりの期間、米軍が多額の予算を投じた結果、コンピューティング分野全体が発展しました。
いずれにせよ、微分アナライザーのもっと興味深い遺産は、計算の本質について教えてくれるものだと思います。私は微分アナライザーができることの多さに驚嘆しました。計算を高速デジタル回路によって実現される領域と考えるのは簡単です。実際には、計算とはもっと抽象的なプロセスであり、電子デジタル回路は計算を実装するための典型的な手段に過ぎません。ブッシュは、ディファレンシャル・アナライザーに関する論文の中で、自分の発明は「複雑な推論プロセスのアナロジーとして複雑な機械構造を使用するという遠大なプログラム」に対する小さな貢献であると述べています。彼の要約は適切です。
Karl Kempf, "Electronic Computers within Ordnance Corps," 1961, accessed April 6, 2020,
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